3年数学
 円周角
(3) 円周角の定理の証明 学習日    月   日(  )
 円周角は中心角の半分
    同じ弧に対する円周角は等しい
〜 印刷して、紙の上でやってネ! (文字サイズを小にするとA4に収まります)〜
それぞれ空欄をうめて,証明を完成しなさい。
「円周角の定理」 円周角は中心角の半分  「円周角の定理」 円周角は中心角の半分 
 右図で,∠AOB=2∠APB

[証明]
中心Oを通ってPCを引く

△OPAで,OP=  より,

 ∠OPA=  =x 

 ∠AOC=∠OPA+  =2x…ア

△OPBで,OP=  より,

 ∠OPB=  =y

 ∠BOC=∠OPB+  =2y…イ

ア+イより,
 ∠AOC+  =2x+2y=2(xy)

よって,∠AOB=2×
 右図で,∠AOB=2∠APB


[証明]
中心Oを通ってPCを引く

△OPAで,OP=  より,

 ∠OPA=  =y 

 ∠AOC=∠OPA+  =2y…ア

△OPBで,OP=  より,

 ∠OPB=  =xy 

 ∠BOC=∠OPB+  =2(xy)…イ

イ−アより,∠BOC−  =2(xy)−2y

よって,∠AOB=2×
同じ弧に対する円周角は等しい 半円(直径)に対する円周角は90°
 右図で,∠APB=∠AP’B

[証明]円周角の定理より,

弧ABに対して

 ∠APB= 1 ∠  …ア.
2
同様に,∠AP’B= 1 ∠  …イ.
2

ア=イより,∠APB=
 右図で,弧ABが半円(弦ABが直径)のとき,∠P=90°


[証明]

弧ABは半円だから,∠AOB=  °


∠P=∠AOB÷2=  °÷2=  °

  

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