3年数学
 三平方の定理
 こたえ   〜 3年6章の正答 〜   

(1)斜辺の長さ

x2=62+82=36+64=100
x>0より,x=√100=10cm
x212+32=1+9=10
x>0より,x=√10
cm
x2=122+52=144+25=169
x>0より,x=√169=13cm
x212+22=1+4=5
x>0より,x=√5cm
x2=32+22=9+4=13
x>0より,x=√13cm
x2=3+3=9+9=18
x>0より,x=√18=3√2cm
x2=22+(√5)2=4+5=9
x>0より,x=√9=3cm
x2=(√2)2+(√3)2=2+3=5
x>0より,x=√5cm
x2=92+122=81+144=225
x>0より,x=√225=15cm
10 x2=42+42=16+16=32
x>0より,x=√32=4√2cm

(2)他の1辺の長さ

x2+32=52
x2=25−9=16
x>0より,x=√16=4cm
x2+52=62
x2=36−25=11
x>0より,x=√11cm
ピタゴラス数

覚えておくと
     楽だよ。
x2+32=72
x2=49−9=40
x>0より,x=√40=2√10cm
x+32=42
x=16−9=7
x>0より,x=√7cm
x+(√2)2=(√3)2
x=3−2=1
x>0より,x=√1=1cm 
x+52=72
x=49−25=24
x>0より, x=√24=2√6cm
x2+22=(√10)
x=10−4=6
x>0より,x=√6cm
xx=22
2x2=4   x2=2
x>0より,x=√2cm
x2+122=132
x2=169−144=25
x>0より,x=√25=5cm
10 x2+152=172
x2=289−225=64
x>0より,x=√64=8cm

(3)三角定規の辺

x:1=4:1よりx=4cm
y:√2=4:1よりy=4√2cm
x:2=5:1より x=10cm
y:√3=5:1よりy=5√3cm
x:1=5:1よりx=5cm
y:√2=5:1よりy=5√2cm
x:1=8:2よりx=4cm
y:√3=8:2よりy=4√3cm
x:1=3:1よりx=3cm
y:√2=3:1よりy=3√2cm
x:1=2√3:√3よりx=2cm
y:2=2√3:√3よりy=4cm
x:1=4:√2より,x  4 . =2√2cm
2
yx=2√2cm
x=6÷2=3cm

y:√3=3:1より,y=3√3cm

(4)定理の証明

1辺がcだから,c2 △ACD,△CBD
縦と横が ab だから, ab
2
x:b, cx
1辺が (ab)だから,(ab)2 y:a, cy
c2 ab ×4=(ab)2
2
c2+2ab=(ab)2
c2+2aba2+2abb2
 よって,a2b2c2 (証明終わり)

a2b2cycxc (xy)=c2

 よって,a2b2c2 (証明終わり)
 

(5)三平方の定理の逆

残りの角は,180−(65+25)=90°
 直角90°があるから,直角三角形
(順に)
 c=10, c2=102=100,
 a2b2=82+82=64+64=128
 c2a2b2, 鋭角三角形
残りの角は,180−(60+80)=40°
 すべて鋭角だから,鋭角三角形
残りの角は,180−(35+50)=95°
 鈍角95°があるから,鈍角三角形
(順に)
 c=4, c2=42=16,
 a2b2=22+32=4+9=13
 c2y2b2, 鈍角三角形
残りの角は,180−(75+45)=80°
 すべて鋭角だから,鋭角三角形
残りの角は,180−50×2=80°
 すべて鋭角だから,鋭角三角形
(順に)
 c=4, c2=42=16,
 a2b2=42+32=16+9=25
 c2a2b2, 鋭角三角形
残りの角は,(180−92)÷2=44°
 鈍角92°があるから,鈍角三角形

(6)平面図形への利用1

x2=42+42=16+16=32
x>0よりx=√324√2cm
x262+82=36+64=100
x>0よりx=√100=10cm
x2+122=132
x2=169−144=25
x>0よりx=√255cm
ひし形の1/4の直角三角形で考えると,
x2=32+52=9+25=34
x>0よりx=√34cm
右図で,y+4=5
 y=25−16=9で,y=3

x2=42+(9−3)2
16+36=52
 x>0より,x=√52=2√13cm
△ACDで,AC2=32+42=25
 AC>0より,AC=√25=5

AD//BCより,∠CAD=∠BCA
 2角相等で△ACD∽△CBA
5:x=3:5より,x=25/3cm
正方形の1辺の長さは,16÷4=4cm
 x2=42+42=16+16=32
 x>0より,x=√32=4√2cm

(7)平面図形への利用2

h2+42=82より,h2=64−16=48
 高さは,h=√48=4√3cm

面積は,S=1/2×8×4√3=16√3cm2
h2+32=102より,h2=100−9=91
 高さは,h=√91cm

面積は,S=1/2×6×√91=3√91cm2
h2+62=102より,h2=100−36=64

 高さは,h=√64=8cm




面積は,S=1/2×6×8=24cm2
 
△BCDで,x2=32+52=34
 x>0より,x=√34cm
△ABDで,y2+42=(√34)2
 y2=34−16=18
 y>0より,y=√18=3√2

よって面積は,S=△BCD+△ABDで,
 S= 1 ×5×3+ 1 ×4×3√2 15+12√2  
2 2 2 cm2
BD:AD=AD:CD
3:AD=AD:2だから,
AD2=3×2=6
AD=√6cm
△ABEで,AE2=42+22=16+4=20
 AE>0より,AE=√20=2√5cm
アより,4:2√5
AC2=(√6)2+226+2210

AC=10cm
イより面積比は,42:(2√5)2=16:20=4:5
 △AFD:△ABC=△AFD:(1/2×2×4)=4:5
 △AFD:4=4:5より,△AFD=16/5cm2

(8)2点間の距離 (単位は不要)

AB2=(4−1)2+(6−2)2
AB2=32+42=3+16=25
 AB=√255
AB2=〔6−(−2)〕2+(7−3)2
AB2=82+42=64+16=80
 AB=√80=4√5
AB2=〔(5−(−1)〕2+(4−2)2
AB2=62+22=36+4=40
 AB=√40=2√10
AB2=〔(−3)−(−6)〕2+〔2−(−1)〕2
AB2=32+32=9+9=18
 AB=√18
32
(9)空間図形への利用1

底面の対角線は,
 √(22+22)=√8=2√2
よって対角線 x は,
 x2=22+(2√2)2=4+8=12
 x>0より,x=√12=2√3cm 

[別解]x=√(22+22+22)=2√3
底面の対角線は,
 √(42+62)=√52=2√13
よって対角線 x は,
 x2=42+(2√13)2=68
 x>0より,x=√68=2√17cm

[別解]x=√(42+62+42)=2√17
底面の対角線(長方形の横)は,
 √(22+22)=√8=2√2
 よって面積は,2×2√2=4√2cm2
対角線AC=√(22+22+22)=√12=2√3
対角線BD=√(22+22)=√8=2√2
 よって面積は,2√3×2√2÷2=2√6cm2
△ABCの1辺は,
 √(22+22)=√8=2√2だから,
 h2+(√2)2=(2√2)2

 h2=8−2=6で,h=√6

面積は,1/2×2√2×√6=2√3cm2
AD=√(22+22)=√8=2√2
BC=√(42+42)=√32=4√2
AB=√(22+42)=√20=2√5
右図で,h2+(√2)2=(2√5)2
 h2=20−2=18で,h=√18=3√2
面積は,1/2×(2√2+4√2)×3√2
  =3√2×3√2=18cm2

(10)空間図形への利用2

h2=62−32=36−9=27
 h>0より,h=√27=3√3cm
V= 1 ×△PAC×6= 1 ×( 1 ×8×4)×6=32cm3
3 3 2
V= 1 × 32π×3√3=9√3πcm3
3
V= 1 ×△PAB×4= 1 ×( 1 ×8×6)×4=32cm3
3 3 2
AC2=42+42=16+16=32
 AC>0より,AC=√32=4√2cm
V= 1 ×42×2√7 32 7cm3
3 3
△OAHで,OH2=62−(2√2)2=36−8=28

 OH>0.より,OH=√28=2√7cm

 
右図を参照して,
 h2=62−22=36−4=32
 h>0より,h=√32=4√2
面積は, 1 ×4×4√2=8√2cm2
2

(11)空間図形への利用3
MG2=52+102=25+100=125
 MG>0より,MG=√125=5√5cm
△DECは直角三角形で,DE=5cmとなる。
 よって面積は,1/2×5×5=25/2cm2
CM2=102+(5√5)2=100+125=225

 CM>0より,CM=√225=15cm
  
対角線EC=√(42+52+32)=√50=5√2
△DEC=1/2×EC×DP=1/2×5√2×DP=25/2
 よって,DP=  5 . 5√2 cm
2  2 
V=1/3×△PAB×PC
 =1/3×(1/2×62)×6
 =36cm3
△ABCの高さhは,h2=(6√2)2−(3√2)2=54
 h=√54=3√6で,
  S=1/2×6√2×3√6=9√12=18√3cm2
AB2=62+62=36+36=72
 AB>0より,AB=√72=6√2cm
アより,1/3×△ABC×x=36
 x 36×3 6√3 =2√3cm
18√3  3

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