3年数学
 円周角
 こたえ  〜 3年7章の正答 〜    

(1) 円周角と中心角

100÷2=50° 140÷2=70° 90÷2=45°
180÷2=90° 80÷2=40° 220÷2=110°
70÷2=35° 150÷2=75° 50×2=100°
10 100×2=200°     

(2) 同じ弧に対する円周角

35° 50° 25° 40°
40° 90° 20° 90−40=50°
30+50=80° 10 120−50=70°  

(3) 円周角の定理の証明

(順に)
 OA,∠OAP,∠OAP,PB,∠OBP,
 ∠OPB,∠BOC,∠APB 
(順に)
 OA,∠OAP,∠OAP,OB,∠OBP,
 ∠OBP,∠AOC,∠APB
(順に)
 AOB,AOB,∠AP’B
(順に)
 180,180,90

(4) いろいろな円周角
∠BOD=50×2=100°より,
 ∠x=360−100=260°
y=260÷2=130°
x=70×2=140°
y=(360−140)÷2=110° 
∠ABC=90°より,
 ∠x=180−90−50=40°

OA=OB(半径)より,
 ∠y=∠x40°
x=120÷2=60°
COを延長して,点Dをとると,
 ∠D=∠A+∠C=60+20=80°
よって,
 ∠y=120−∠D=120−80=40°
x=∠B=40°
y=∠C+∠D=40+50=90°
OA=OB(半径)より,∠x50°
∠BAC(半円の円周角)=90°より,
 ∠y=180−90−50=40°
∠B=∠Aより,∠x70°
∠BCD=90°より,∠y=180−70−90=20°
∠BOC=50×2=100°∠x=(180−100)÷2=40°
y=∠DBC−x=(180−50−30−40)−40=20°

(5) 弧と円周角

x25° 弧ABは半円だから,
 ∠APB=∠x+∠y=90°
また,x:y=1:2だから,∠x30°,
 ∠y60°
x:30=4:8=1:2より,∠x15° ∠A:∠:B:∠C=4:3:2で,∠A+∠B+∠C=180°
よって,∠A=180×(4/9)=80°
同様に,∠B=180×(3/9)=60°∠C=40°
x:24=6:4=3:2より,∠x36° ∠D=∠C=yで,∠A+∠D=xy=75,
また,∠x:∠y=3:2だから,
 ∠x=75×(3/5)=45°
同様に,∠y=75×(2/5)=30° 
y:12=15:60=1:4より,y3cm (順に)
 ∠BAD,錯,円周角,円周角,BD
(y+2):(y+7)=18:36=1:2より,
 2(y+2)=y+7で,y3cm

(6) 直径と円周角

x90° x=180−90−20=70°
x=180−90−52=38° ∠A=∠Q=65°,∠APB=90°
 ∠x=180−65−90=25°
∠A=∠P=70°より,
 ∠x=(180−70×2)÷2=20°
∠PQB=∠PAB=30°より,
 ∠x=90−30=60°
AとQを結ぶと,∠AQP=∠ABP=55°
x=90−55=35°
2角相等より,△CAP∽△PAB
 よって,x35°
BとQを結ぶと,∠BQP=∠BAP=20°
 ∠x=90−20=70°
10 OとRを結ぶと,∠AOR=40×2=80°
    同様に,∠BOR=2∠x
2∠x+80=180より,∠x=(180−80)÷2=50°

(7) 円周角の定理の逆

∠BAC≠∠BDCより, × x35°(弧ABに対する円周角)
∠CAD≠∠CBDより, × ∠ADB=∠ACB=40°より,4点は同じ円周上
 よって,∠x=∠BAC=60°
△ABCで,∠y=180−(60+25+40)=55°
∠CAD=∠CBD=30°より, ○
∠ADB≠∠ACBより, × ∠BAC=∠BDC=90°より,4点は同じ円周上
△DBCで,∠ACB=90−35−15=40°
 よって,∠x=∠ACB=40°
∠ADB=∠ACB=40°より, ○
∠ADB=∠ACB=90°より, ○ 52°(ア), 41°(ウ), 48°(イ)

(8) 円と接線

∠ODP=90°より,AP2+62=102
 AP2=100−36=64で,AP=8cm 
∠APB=90°より,∠PAB=90−65=25°
 よって,∠x=90−25=65° 
∠A=∠B=90°より,
 ∠x=360−(90+90+45)=135° 
∠OAP=90°より,OP2=52+122=169
 よって,OP=√16913cm 
(順に)
 2,正方形,AF,x+6,4,10
(順に) 接線の長さ,DC,EC,EC,CD,
  EB,PB,10,20 

(9) 円と相似な三角形

x=∠ABD=60°
y=180−50−60=70°
2角相等より,△PAD∽△PBC
 x:4=9:6だから,6x=36より,x6
2角相等より,△PAD∽△PBC
 (△PAB∽△PDCも可)
 x:4=3:2だから,2x=12より,x6
∠ABD=∠ACD,∠ABD=∠CBDより,
 ∠ACD=∠CBDとなるから,△DCP∽△DBC
 CD:(9+3)=3:CDで,CD2=36で,CD=6
(順に)
 △PCB ,△QCD ,△QAC
∠BCD=x+30,∠ADC=xより,
 △ECDで,(x+30)+x=100より,∠x35°
∠ABC=∠ADC=∠CBD=x,∠BDC=90°
y−20=2x,2x+20=90だから,y90°
 よって,x=(90−20)÷2=35°
△QAB∽△QCDより,(x+4):(5+7)=5:x
 x2+4x=60で,x2+4−60=0
 (x+10)(x−6)=0で,x>0より,x6

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