3年数学
 相似な図形
 こたえ  〜 3年5章の正答 〜  

(1) 拡大と縮小

x :6=5:10より,x =3cm
y=70°
z=360−(70+80+75)=125°

(2) 相似の性質

△DEF △EDF △EFD △FED
△EFD △EFD △ADE △EDC
(3) 三角形の相似条件1
△DEF [2組の辺の比とその間の角] △FDE [3組の辺の比]
△FDE [2組の角] △FDE [3組の辺の比]
△FED [2組の辺の比とその間の角] △FDEまたは△FED [2組の角]

(4) 三角形の相似条件2

△ADE [2組の角] △EDC [2組の辺の比とその間の角]
△ADE [2組の角] △DEF [3組の辺の比]
△ADE [2組の辺の比とその間の角] △AED [2組の角]
△BDE [3組の辺の比] △DEC [2組の辺の比とその間の角]

(5) 相似の証明

(順に)
△BOC,OB,4,OD,6,∠BOD,対頂
2組の辺の比とその間の角,△BOD
(順に)
△QBP,∠Q,∠B,2組の角,△QBP
 
(順に)
△DCO,∠DOC,対頂,∠ODC,錯,
2組の辺の比とその間の角,△DOC
(順に)
△EBD,EB,4,BD,3,DE,2
3組の辺の比,△EBD

(6) 相似比と辺

相似比は  3:6=1:2
辺の長さ  x:4=3:6  x=2cm
相似比は  6:9=2:3
辺の長さ  x:12=6:9  x=8cm
相似比は  8:6=4:3
辺の長さ  x:3=8:6  x=4cm
相似比は  4:6=2:3
辺の長さ  10:x=4:6  x=15cm
相似比は  20:15=4:3
辺の長さ  16:x=20:15  x=12cm
相似比は  10:8=5:4
辺の長さ  x:20=10:8  x=25cm
相似比は  (4:10=)2:5
辺の長さ  x:7.5=2:5  x=3cm
相似比は  3:6=1:2
辺の長さ  x:4=3:6  x=2cm 

(7) 相似の利用

1  (順に)

 ∠C,∠C,∠CAD
(順に)
 △ACD,∠CAD,共通,AC,
 8,2,1,AD,4,2,1,
 2組の辺の比とその間の角,△ACD
(順に) △DBA,△DAC 
9:15=AD:20より,AD=12 16:8=BC:4より,BC=8
(順に)
 △BDC,∠BCD,共通,∠DBC,
 2組の角,△BDC,BC,CD 
(順に)

 0.4,15,15 

(8) 三角形と比

x:6=3:9
 9x=18  x=2cm
4:y=3:9
 3y=36  y=12cm
9:x=12:8
 12x=72  x=6cm
15:y=12:(12+8)
 12y=300 y=25cm
2:x=4:6
 4x=12  x=3cm
y:10=4:(4+6)
 10y=40 y=4cm
5:x=3:6
 3x=30 x=10cm
y:14=3:6
 6y=42 y=7cm
x:18=7:14=1:2
 2x=18 x=9cm
6:y=1:2
 y=12cm 
x:(x+10)=4:12=1:3
 3xx+10  x=5cm
6:y=5:10=1:2
 y=12cm 
x:12=24:18=4:3
 3x=48  x=16cm
y:15=6:18=1:3
 3y=15  y=5cm 
x:18=15:9=5:3
 3x=90  x=30cm
12:y=18:30=3:5
 3y=60  y=20cm

(9) 平行線と比1

6:x=4:8
 4x=48   x=12cm
6:10=x:15
 10x=90  x=9cm
16:10=x:15
 10x=240  x=24cm
x:6=14:4
 4x=84   x=21cm
x:15=14:10
 10x=210  x=21cm
x:8=6:6
 6x=48   x=8cm
x:4=15:6
 6x=60   x=10cm 
x:9=14:6
 6x=126  x=21cm

(10) 平行線と比2

△DAB, 4:6=2:3  △DCE, 12:18=2:3 
△BCD, 4:12=1:3  アより,2:3 
△DCE, 6:12=1:2  2:(2+3)=2:5 , 5x=36で,x=7.2(36/5)
△CBO, 6:12=1:2 1:2 
1:2 1:2
△ABC, 1:(1+2)=1:3 1:2:4
1:3 , 3EO=12で,4 (4−1):1=3:1
1:3 , 3FO=12で,4  
4+4=8

(11) 中点連結定理

中点連結定理より,
 x=12÷2=6cm
中点連結定理より,
 x=2×2=4cm
 AからDCに平行な線分を
引くとよい。

中点連結定理より,

 x=2+10=12cm
 AからDCに平行な線分を
引くとよい。
 (DからABに平行線も可)

中点連結定理より,
 x=3+8=11cm
 AとCを結ぶと,
△ABCで,PQ//=1/2AC
△ACDで,SR//=1/2AC
 よって,PQ//=SR
1組の対辺が平行で
 等しいから,平行四辺形
△ABCで,NM=1/2AB
△ACDで,NL=1/2CD
 AB=CDだからNM=NL

よって,二等辺三角形
 
△DABで,EQ//AB
△CABで,PF//AB
 よって,EC//PF ・・・ア
△BDCで,QF//DC
△ADCで,EP//DC
 よって,QF//EP ・・・イ
ア,イより,2組の対辺が平行だから,
  平行四辺形 
△NLMで,
 ∠ANM=180−70=110°
よって,∠LNM=30+110
          =140°

△NLM(二等辺三角形)で,
 ∠MLN=(180−140)÷2
    =40÷2=20°

(12) 面積比

相似比は,10:6=5:3
面積比は,52:3225:9
AD:AB=1:(1+2)=1:3
DE:BC=AD:AB=1:3
相似比は,4:6=2:3
面積比は,22:324:9
△PDE∽△PCB(相似比は1:3)だから,
 面積比は,12:321:9
相似比は,10:4=5:2

面積比は,52:2225:4
△ADE:△ABC=12:32=1:9だから,
 四角形DBCE:△ABC
  =(9−1):9=8:9=x:18
これを解いて,x=16 
相似比は,12:16=3:4
面積比は,32:429:16 
AD=BCより,AE:BC=1:2
 △APE∽△CPBだから,12:221:4 
相似比は,8:12=2:3
面積比は,22:324:9
△ABPと△CBPは,高さが等しいから,
 面積は底辺に比例し,AP:CP=1:2 
相似比は,16:10=8:5
面積比は,82:5264:25 
△APE:△CPB:△APB=1:4:2となるから,
△APB=2のとき,
 四角形EPCD=2+4−1=5で,2:5 

(13) 体積比

相似比は,7:14=1:2
表面積比は,12:22=1:4
体積比は,13:23=1:8
相似比は,15:12=5:4
表面積比は,52:42=25:16
体積比は,53:43=125:64
相似比は,9:15=3:5
表面積比は,32:52=9:25
体積比は,33:53=27:125
相似比は,6:9=2:3
表面積比は,22:32=4:9
体積比は,23:33=8:27
表面積比が1:9=12:32だから,
 半径の比は相似比になり,1:3 
Aと(A+B)の体積比は,13:23=1:8だから,
 A:B=1:(8−1)=1:7  
体積比は,13:33=1:27だから,
 x:108=1:27より,x=4cm3
(A+B):B=8:7だから,
 72π:x=8:7より,63πcm3

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