3年数学
 2次関数
 こたえ   〜 3年4章の正答 〜

(1) 2乗に比例

y=2πx x, π y=πx2, xの2乗 (またはx2) , π
y=4x x , 4 yx2, x の2乗 (またはx2) , 1
y=6x, x, 6 y=1/2x2, xの2乗 (またはx2) , 1/2

(2)  関数y=a2 1

yx2 
x
y 16 25
y=6x2
x
y 24 54 96 150
y=2x2
x
y 18 32 50
y=4πx2
x
y 16π 36π 64π 100π
y π x2
x  4  6  8  10
y π 16π 25π
y 3 x2
10
y 2√3 8√3 18√3 32√3 50√3

(3) 関数y=a2 2

yax2に,x=3,y=18を代入すると
 18=a×32
 9a=18
 a=2   (答) y=2x2


x
y 18 32 50
yax2に、x=−5,y=25を代入すると
 25=a×(−5)2
 25a=25
 a=1    (答) yx2


x
y 16 25
yax2に,x=4,y=8を代入すると
 8=a×42
 16a=8
 a=1/2  (答) y=1/2x2

x
y 1/2 9/2 25/2
yaxに、x=1,y=−3を代入すると
 −3=a×12
 a=−3
       (答) y=−3x2

x
y -3 -12 -27 -48 -75
yax2に,x=2,y=12を代入すると
 12=a×22
 4a=12
 a=3   (答) y=3x2

x -2 -1
y 12 12
yax2に,x=−2,y=−4を代入すると
 −4=a×(−2)2
  4a=−4
  a=−1   (答) y=−x2

x -2 -1
y -4 -1 -1 -4

(4) 関数y=a2 3

は,わかりやすくするために記入 (特に必要はない)  
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 9 4 1 0 1 4 9 16


x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 18 8 1 0 2 8 18


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8


x -3 -2 -1 0. 1 2 3
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9


 

(5) 放物線の式

yax2に,x=−2,y=2を代入すると
 2=a×(−2)2
 4a=2
 a=1/2  (答) y=1/2x2
yax2に,x=3,y=−27を代入すると
 −27=a×32
 9a=−27
 a=−3  (答) y=−3x2  
yax2に,x=−3,y=18を代入すると
 18=a×(−3)2
 9a=18
 a=2  (答) y=2x2
yax2に、x=2,y=−2を代入すると
 −2=a×22
 4a=−2
 a=−1/2  (答) y=−1/2x2
yax2に,x=1,y=−1を代入すると
 −1=a×12
 a=−1
       (答) y=−x2
yax2に,x=2,y=1を代入すると
 1=a×22
 4a=1
 a=1/4  (答) y=1/4x2

(6) 変化の割合

1  2 
x
y

 変化の割合= 9−0 9 =3
3−0 3
x
y -2 -18

 変化の割合= (-18)−(-2) −16 =−8 
3−1
x
y 25

 変化の割合= 25−1 24 =6
5−1 4
x
y -8 -72

 変化の割合= (-72)−(-8) −64 =−16
6−2  4
x -3 -1
y

 変化の割合=  9−1 .  8 =−4
(-1)−(-3) -2
x -2
y -8

 変化の割合= 0−(-8) 8 =4
0−(-2) 2

(7) 2次関数と変域

x=−1のとき,y=(−1)2=1
x=0のとき, y=02=0
x=2のとき,y=22=4
  0≦y≦4
x=−2のとき,y=−2×(−2)=−8
x=0のとき, y=02=0
x=1のとき,y=−2×12=−2
  −8<y≦0 
 x=−1のとき,y=−(−1)2=−1
x=0のとき, y=02=0
x=2のとき,y=−22=−4
  −4≦y≦0
 
 yaxの変域は,
 a>0のとき,0≦y≦9a
 a<0のとき,9ay≦0
y=2x+2の変域は,0≦y≦8
よって,9a=8より,a=8/9 (9分の8)


(8) y=a2 の利用 1

x 0 1 2 3 4 5
y 0 4 16 36 64 100
x が0から2まで増加するときの
 変化の割合を求めればよいから,
 
16−0 16 =8m/秒
2−0 2
 
36÷4=9倍
52=25倍
x 0 1 2 3 4 5
y 0 5 20 45 80 125
エ  x が0から3まで増加するときの
 変化の割合を求めればよいから,

45−0 45 =15m/秒
3−0 3
 
 
5×102=500m
y=5x2y=320を代入して,
 320=5x2 で,x2=64
よって,x=8  8秒
yax2x=60,y=30を代入して,
 30=a×602 で,3600a=30
 a  30 .  1 .
3600 120
よって,y  1 . x2
120
左の式にy=19.2を代入して,
 19.2=  1 . x2
120
 x2=19.2×120=2304
よって,x=48  48km/時

(9) y=a2 の利用 2

x
y 16
y 1 ×x×2xx2
2

よって,yx2
 
y=2a
 a . ・・・ 10
 S . 18 32 ・・・ 200
S=a×2a=2a2

(10) y=a2 の利用 3

y=3x−3
y=−x+5
3x−3=−x+5より,x=2
よって,y=3
  P (2,3)
y=2x2
x=1
y=2x2 x=1を代入して,
 y=2×12=2
  P (1,2)
y=−x2
yx−2
x2x−2 より,
 x=−2,1
 P(−2,−4)  Q(1,−1)
y=2x2
y=3x+2
2x2=3x+2より,
 x=−1,2
  P(−1/2,1/2)  Q(2,8)

(11) y=a2 の利用 4

Q(−aa2)  A(−2a,4a2) ,C(aka2) 
PA=a2,PQ=2aだから,
 a2=2a
a(a−2)=0 より,a=2 (a=0は不適)
点Aと点Cのy座標は等しくなるから,
 4a2ka2
よって,k=4
yx2
y=−2x+3
x2=−2x+3 より,
 x=−1,3
よって,A(−3,9) B(1,1)

2つの三角形に分けて考える。
Cは (0,−4)だから,
△OAB=△OAC+△OBC
 = 1 ×4×(4+2)=12.
2
 
2つの三角形に分けて考える。

Cは (0,3)だから,
△OAB=△OAC+△OBC
 = 1 ×3×(1+3)=6.
2
線分OBの中点は,M(2,−4)で,
 AMが2等分する直線となる。
傾きは, (−4)−(−2) −2 =− 1
2−(−2) 4 2
よって,y=− 1 x−3
2

(12) いろいろな関数

 
x ・・・
y 16 32 64 ・・・
210=1024枚
29=512,210=1024だから,10回目
y=2x (2のx乗)

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