3年数学
 2次方程式
 こたえ   〜 3年3章の正答 〜  

(1)平方根利用による解き方1

x=±3 x=±6 x=±0.5
x=± 2
3
x=16
x=±4
x=1
x=±1
x=0
 (
x=±0は不可)
x=±√7 x=±√12=±2√3
10 x=28
x=±√28=±2√7
11 x=16
 x=±4
12 x=50
x=±√50=±5√2
13 5x=40
 x=8
x=±√8=±2√2
14 2x=36
 x=18
 x=±√18=±3√2
 

(2)平方根利用による解き方2

x+1=±2
x=±2−1
 x=1,−3
x−3=±9
x=±9+3
 x=12,−6
x−2=±7
x=±7+2
 x=9,−5
x+5=±10
x=±10−5
 x=5,−15
(x−1)=16
 x−1=±4
x=±4+1
 x=5,−3
(x+2)=9
 x+2=±3
x=±3−2
 x=1,−5
(x+3)=16
 x+3=±4
x=±4−3
 x=1,−7
x−1=±√12=±2√3

 x=1±2√3
(x−5)=18
x−5=±√18=±3√2
 x=5±3√2
10 (x+3)=8
x+3=±√8=±2√2
 x=−3±2√2  

(3)平方根利用による解き方3

9 , 3 1 , 1 10 , 5 12 , 6
4 , 4 24 , 144  
16,16,16,4,18,4,3√2 (√18も可),4,3√2    
25,25,25,5,28,5,2√7 (√28も可),5,2√7
1,1,1,1,3,1,√3,1,√3
64,64,64,8,72,8,6√2 (√72も可),8,6√2
平方の形を作るために,両辺に4を加えると,
 x−4x+4=3+4
  (x+2) =7
   x+2=±√7
    x=−2±√7

(4)因数分解による解き方1

 x=2,3  x=−1,−7  x=−9,2  x=0,4 
(x−2)(x−4)=0
 x=2,4
(x+5)(x−3)=0
 x=−5,3
(x+3)(x+6)=0
 x=−3,−6
(x−5)(x+4)=0
 x=5,−4 
(x+8)(x−7)=0
 x=−8,7
10 (x+2)(x+5)=0
 x=−2,−5
11 (x−6)(x+4)=0
 x=6,−4
12  (x−4)=0
 x=4
13 x(x+5)=0
 x=0,−5
14 (x−6)(x+6)=0
 x=6,−6  (x=±6も可)
 

(5)因数分解による解き方2

xx−42=0
(x−7)(x+6)=0
 x=7,−6
x−7x−8=0
(x−8)(x+1)=0
 x=8,−1
x+12x+11=0
(x+1)(x+11)=0
 x=−1,−11
x−11x+30=0
(x−5)(x−6)=0
 x=5,6
x−6x+8=0
(x−2)(x−4)=0
 x=2,4
x+9x−36=0
(x+12)(x−3)=0
 x=−12,3
x+2x−3=0
(x+3)(x−1)=0
 x=−3,1
x+3x−18=0
(x+6)(x−3)=0
 x=−6,3
x+3=0より,x=−2
2x−1=0より,x 1
2
10 3x−2x=0
x(3x−2)=0
 x=0, 2
3
 
11 (3x+2)(3x−2)=0
 x=− 2 2
3 3
 または,x=± 2
3
12 (2x+1)=0
2x+1=0より,2x=−1
 x=− 1
2
 

(6) 解の公式1

解の公式にa=1,b=−1,c=−1を代入して,
 x −(−1)±√(−1)2−4×1×(−1)
2×1 
 = 1±√1+4 1±√5
2 2
解の公式にa=3,b=−5,c=1を代入して,
 x −(−5)±√(−5)2−4×3×1
2×3  
 = 5±√25−12 5±√13
6 6
解の公式にa=1,b=−2,c=−5を代入して,
 x −(−2)±√(−2)2−4×1×(−5)
         2×1        
 = 2±√4+20 2±2√6 =1±√6
2 2
解の公式にa=1,b=6,c=−1を代入して,
 x −6±√62−4×1×(−1)
      2×1      
 = −6±√36+4 −6±2√10 =−3±√10
2 2

(7) 解の公式2

解の公式にa=1,b=−3,c=1を代入して,
 x −(−3)±√(−3)2−4×1×1
2×1
 = 3±√9−4 3±√5
2 2
解の公式にa=1,b=7,c=7を代入して,
 x −7±√72−4×1×7
2×1
 = −7±√49−28 −7±√21
6 6
解の公式にa=2,b=1,c=−5を代入して,
 x −1±√12−4×2×(−5)
2×2 
 = −1±√1+40 −1±√41
4 4
解の公式にa=3,b=−1,c=−3を代入して,
 x −(−1)±√(−1)2−4×3×(−3)
2×3 
 = 1±√1+36 1±√37
6 6
解の公式にa=1,b=−4,c=2を代入して,
 x −(−4)±√(−4)2−4×1×2
2×1
 = 4±√16−8 4±2√2 =2±√2
2 2
解の公式にa=1,b=−4,c=1を代入して,
 x −(−4)±√(−4)2−4×1×1
2×1
 = 4±√16−4 4±√12 =2±√3
2 2

(8)いろいろな2次方程式

x2−3x−18=0
(x−6)(x+3)=0
 x=6,−3
x2+3x−10=0
(x+5)(x−2)=0
 x=−5,2
x2x−2=0
(x−2)(x+1)=0
 x=2,−1 
x2+2x−15=0
(x+5)(x−3)=0
 x=−5,3
3x2−20x+12=0
(3x−2)(x−6)=0
 x=2/3,6
 
9(x−6)2−(x+6)2=0
{3(x−6)+(x+6)}{3(x−6)−(x+6)}=0
(4x−12)(2x−24)=0
4(x−3)×2(x−12)=0より,x=3,12 
【別解】
3(x−6)=±(x+6)
3x−(±x)=±6+18
2x=24,4x=12 ・・・
6x(x+1)−5(x+1)=0
(x+1)(6x−5)=0
 x=−1, 5
6
 
9x2+6x+1=12x+2
9x2−6x−1=0
(3x−1)2=0
 x 1
3

(9)2次方程式と解

−4  −9 x=−1を代入して
 −ab=−1・・・(1)
x=5を代入して
 5ab=−25・・・(2)
(1)(2)を解いて,
 a=−4,b=−5 
−5 −5
−4 6
  a=−5,b=6
1 1 x=−2を代入して
 4+2a−3a=0
   a=4
x2−4x−12=0を解いて
 x=−2,6
  a=4,x=6
3 3
 a=1,x=3

(10)2次方程式の利用1

(x+4)2x+24
 x2+7x−8=0
(x+8)(x−1)=0
 x=−8,1
x>0だから,
 x=1
 
一方の数をxとすると,
 他方の数は(12−x)となるから,
x(12−x)=35
x2−12x+35=0
(x−5)(x−7)=0
 x=5,7
  5と7
中央の数をxとすると,最小の数は(x−1)で,
 最大の数は(x+1)となるから,
(x−1)(x+1)=3x+3
x2−1=3x+3
x2−3x−4=0
(x−4)(x+1)=0
 x=4,−1
x>0より,x=4
  3,4,5
ある数をxとすると,
x2=2x+35
x2−2x−35=0
(x−7)(x+5)=0
 x=7,−5
x>0より,x=7

 7
 

(11)2次方程式の利用2

正方形の1辺をxmとすると,
(x+6)(x−1)=120
x2+5x−6−120=0
x2+5x−126=0
(x+14)(x−9)=0
x=−14,6
x>0より,x=9
 9m 
xm 短くしたとすると,
(8−x)(10−x)=8×10−32
 80−18xx2=80−32
 x2−18x+32=0
(x−2)(x−16)=0
 x=2,16
0<x<8より,x=2
 2m
長さをx倍にすると,
 大きい正方形の1辺は(ax)になるから,
2a2=(ax)2
2a2a2x2
両辺をa2で割ると,
 x2=2
x>0より,x=√2
 √2倍 
  
  
右図のように,
 道を端に移動して考えればよい。
道幅をxmとすると,
(30−x)(40−x)=1064
1200−70xx2−1064=0
 x2−70x+136=0
 (x−2)(x−68)=0
 x=2,68
0<x<30より,x=2
  2m

(12)2次方程式の利用3

y=480を代入して,
 480=100x−5x2
 5x2−100x+480=0
  x2−20x+96=0
(x−8)(x−12)=0
 x=8,12
  8秒後と12秒後
(答えが2つあるのは,昇るときと落ちるとき)
n(n−3) =20
n(n−3)=40
n2−3n−40=0
(n−8)(n+5)=0
 n=8,−5
n>0だから,n=8
   八角形
点Pの座標を(a,2a)とすると,
 縦がaで,横が2aの長方形となるから,
a×2a=32
 2a2=32
 a2=16
a>0だから,a=44

 P(4,8)
x2÷(x−4)=20・・・5
よって,x2=20(x−4)+5
x2−20x+75=0
(x−5)(x−15)=0
 x=5,15
余りが5だから,x−4>5
つまりx>9で,x=15
 15

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