回答

問１．面積速度が一定であるので、ｖ₂は

　　　　

となる。

問２．力学的エネルギー保存の法則より、問１の結果と合わせて、

　　　　

となる。

問３．人工衛星の速さをｖとすると、

　　　　

となる。

問４．追加されたエネルギーは、運動エネルギーの差であるので、

　　　　

となる。

問５．ｋを定数、ａを長半径として、

　　　　

が成り立つので、

　　　　

よって、

　　　　

となる。

問６．問５の結果より、

　　　　

となる。

解説

今回の問題のポイントは４番です。追加されたエネルギーが、運動エネルギーの差で表されることに気付けば、全問正解でしょう。
ケプラーの３つの法則

１．惑星は太陽を一つの焦点とする楕円状を運動する。
２．惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は一定である。
３．惑星の公転周期Ｔの２乗は、楕円軌道の長半径ａの３乗に比例する。

この３つが基本となった問題です。太陽と惑星とでは軌道修正をすることはありませんが、地球と人工衛星ならば、軌道修正を行う場合もあります。