回答

問１．999

問２．9⁹⁹

問３．

解１

　　　　9⁹⁹＝9^387420489より、

　　　　常用対数を取って、

　　　　log₁₀9^387420489＝387420489log₁₀9＝774840978log₁₀3＝369693099.63・・・

　　　　369693099＜369693099.63・・・＜369693100より369693100桁の数

　　　　また、369693099＋log₁₀4＜369693099.63・・・＜369693099＋log₁₀5より、最高位の数字は4、

　　　　9¹＝9
　　　　9²＝81
　　　　9³＝729
　　　　9⁴＝6561
　　　　9⁵＝59049
　　　　9⁶＝531441
　　　　9⁷＝4782969
　　　　9⁸＝43046721
　　　　9⁹＝387420489
　　　　9¹⁰＝3486784401

　　　　となるので、9を369693099回かけたときの下2桁は89となる。

解２

　　　　9⁹⁹＝9⁸¹＜9⁹⁹より、
　　　　log₁₀9⁹⁹＝99×log₁₀9＝198×log₁₀3＝94.470・・・より95桁の数

　　　　99+log₁₀2＜94.470・・・＜99+log₁₀3　より最高位の数は2、
　　　　解１と同様に下2桁は89となる。

補足説明

今回取り上げた9⁹⁹についてですが、解釈の仕方が２通りあります。１つは(9⁹)⁹としての解釈、もう一つは、9⁽⁹⁹⁾としての解釈、
この２通りの解釈があります。どちらが正しいとは言い切れません。プログラミング法の世界では、後者として取り扱われることが多いのですが、
一般的には前者として取り扱われることもよくあります。なのでこの問題は前者として解釈して、9⁹⁹が最大だとして送ってきてくれた浩ちゃんも
正解と致しました。